积分公式详解：从基础概念到高阶应用

目录#

1. 积分的基本概念

   • 1.1 不定积分与定积分的定义
   • 1.2 微积分基本定理：连接导数与积分的桥梁
   • 1.3 积分的几何意义与物理意义

2. 基本积分公式表

   • 2.1 幂函数与常数函数的积分
   • 2.2 指数函数与对数函数的积分
   • 2.3 三角函数的积分
   • 2.4 反三角函数的积分
   • 2.5 双曲函数的积分（拓展）

3. 积分计算技巧

   • 3.1 换元积分法（第一类换元法与第二类换元法）
   • 3.2 分部积分法
   • 3.3 有理函数的积分：部分分式分解
   • 3.4 三角函数积分的常用策略
   • 3.5 无理函数的积分：根式代换与欧拉代换

4. 定积分的性质与计算

   • 4.1 定积分的基本性质（线性性、区间可加性等）
   • 4.2 对称区间上的定积分（奇函数与偶函数的简化）
   • 4.3 定积分的几何应用：面积与体积计算
   • 4.4 定积分的物理应用：功、功率与质心

5. 高阶积分公式与特殊函数

   • 5.1 反常积分（无穷区间与无界函数）
   • 5.2 伽马函数（Γ函数）与贝塔函数（B函数）
   • 5.3 椭圆积分简介（工程中的常见积分）

6. 常见错误与学习建议

   • 6.1 积分计算中的典型错误分析
   • 6.2 高效学习积分公式的方法
   • 6.3 积分公式的记忆技巧与工具推荐

7. 总结与拓展

8. 参考文献

1. 积分的基本概念#

1.1 不定积分与定积分的定义#

不定积分：导数的逆运算#

不定积分的核心思想是“已知函数的导数，求原函数”。设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，若存在函数 $F(x)$ 使得对任意 $x \in I$，都有 $F'(x) = f(x)$，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在 $I$ 上的一个原函数。不定积分定义为所有原函数的集合，记为：

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

其中 $C$ 为积分常数（任意常数），$f(x)$ 称为被积函数，$dx$ 为积分变量。

注：若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则 $F(x) + C$ 也是原函数，且所有原函数都可表示为该形式（可通过导数的唯一性证明）。

定积分：区间上的累积效应#

定积分的定义源于“面积问题”。设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有界，将 $[a, b]$ 分割为 $n$ 个小区间 $[x_0, x_1], [x_1, x_2], \dots, [x_{n-1}, x_n]$（其中 $x_0 = a, x_n = b$），任取 $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$，作和式 $\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i$（$\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$）。若当分割的最大区间长度 $\lambda = \max(\Delta x_i) \to 0$ 时，该和式的极限存在且与分割方式及 $\xi_i$ 的选取无关，则称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，记为：

$$\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i$$

其中 $a, b$ 分别称为积分下限与上限，$[a, b]$ 为积分区间。

1.2 微积分基本定理：连接导数与积分的桥梁#

微积分基本定理（FTC）是积分学的灵魂，它揭示了导数与积分的内在联系，分为两部分：

第一部分（原函数存在定理）#

若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则函数 $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ 在 $[a, b]$ 上可导，且 $F'(x) = f(x)$。即变上限积分是被积函数的原函数。

第二部分（定积分计算的核心公式）#

若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任一原函数，则：

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \quad \text{（简记为 } F(x) \bigg|_a^b\text{）}$$

这一定理将定积分的计算转化为求原函数（不定积分），极大简化了定积分的求解过程。

1.3 积分的几何意义与物理意义#

几何意义#

• 不定积分：表示一族“平行”曲线（相差常数 $C$），每条曲线在点 $x$ 处的切线斜率为 $f(x)$。
• 定积分：若 $f(x) \geq 0$，则 $\int_a^b f(x) \, dx$ 表示由曲线 $y = f(x)$、直线 $x = a, x = b$ 与 $x$ 轴围成的曲边梯形的面积；若 $f(x)$ 有正有负，则定积分为“代数面积”（即正负面积抵消后的结果）。

物理意义#

• 位移计算：若 $v(t)$ 是物体的速度函数，则 $\int_a^b v(t) \, dt$ 表示物体在时间区间 $[a, b]$ 内的位移。
• 功的计算：若 $F(x)$ 是沿 $x$ 轴方向的变力，则物体从 $x = a$ 移动到 $x = b$ 时，力 $F(x)$ 做的功为 $W = \int_a^b F(x) \, dx$。

2. 基本积分公式表#

基本积分公式是积分计算的“基石”，均由导数公式逆向推导而来。以下是最常用的公式表，需熟练记忆：

2.1 幂函数与常数函数的积分#

1. 常数函数：$\int k \, dx = kx + C$（$k$ 为常数）
   例：$\int 5 \, dx = 5x + C$

2. 幂函数：$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$
   例：$\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C$，$\int x^{-2} \, dx = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

3. 倒数函数：$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$（注意绝对值，保证定义域）
   例：$\int \frac{1}{2x} \, dx = \frac{1}{2} \ln|x| + C$

2.2 指数函数与对数函数的积分#

1. 自然指数函数：$\int e^x \, dx = e^x + C$
   例：$\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$（需结合换元法，见 3.1 节）

2. 一般指数函数：$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1)$
   例：$\int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$

3. 对数函数：$\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C$（需用分部积分法，见 3.2 节）

2.3 三角函数的积分#

1. 正弦与余弦：
   $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$，$\int \cos x \, dx = \sin x + C$
   例：$\int \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3}\cos 3x + C$

2. 正切与余切：
   $\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C$，$\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C$
   推导：$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx$，令 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x dx$，积分变为 $-\int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C$

3. 正割与余割：
   $\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$，$\int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$
   例：$\int \sec 2x \, dx = \frac{1}{2}\ln|\sec 2x + \tan 2x| + C$

4. 正割平方与余割平方：
   $\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$，$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$（对应导数公式 $(\tan x)' = \sec^2 x$）

5. 正割乘正切与余割乘余切：
   $\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C$，$\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C$

2.4 反三角函数的积分#

1. 反正弦与反余弦：
   $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + C = -\arccos x + C$（两者仅差常数项）

2. 反正切与反余切：
   $\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + C = -\text{arccot}\, x + C$

3. 反双曲函数（拓展）：
   $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx = \text{arsinh}\, x + C = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + C$
   $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \, dx = \text{arcosh}\, x + C = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) + C \, (x > 1)$

2.5 双曲函数的积分（拓展）#

双曲函数与三角函数类似，但定义基于指数函数，在工程中（如悬链线问题）有重要应用：

• $\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$，$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$
• $\int \tanh x \, dx = \ln \cosh x + C$，$\int \text{coth}\, x \, dx = \ln|\sinh x| + C$

3. 积分计算技巧#

仅靠基本公式无法解决复杂积分，需掌握以下核心技巧：

3.1 换元积分法（变量替换法）#

换元法是最常用的积分技巧，核心思想是通过变量替换将复杂积分转化为基本公式形式，分为第一类换元法（凑微分）和第二类换元法（根式代换等）。

第一类换元法（凑微分法）#

适用场景：被积函数可表示为 $f(g(x)) \cdot g'(x)$ 的形式，即“复合函数 × 内层函数导数”。
公式：设 $u = g(x)$，则 $du = g'(x)dx$，于是：

$$\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du = F(u) + C = F(g(x)) + C$$

其中 $F(u)$ 是 $f(u)$ 的原函数。

例 1：计算 $\int 2x e^{x^2} \, dx$
解：观察到 $2x = (x^2)'$，令 $u = x^2$，则 $du = 2x dx$，积分变为：
$\int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C$

例 2：计算 $\int \sin^2 x \cos x \, dx$
解：令 $u = \sin x$，则 $du = \cos x dx$，积分变为 $\int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{\sin^3 x}{3} + C$

第二类换元法（主动代换）#

适用场景：被积函数含根式（如 $\sqrt{a^2 - x^2}, \sqrt{x^2 + a^2}, \sqrt{x^2 - a^2}$）或复杂分式，需主动设 $x = g(t)$ 消去根式。

常见代换类型：

1. $\sqrt{a^2 - x^2}$：令 $x = a \sin t$（$t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$），则 $\sqrt{a^2 - x^2} = a \cos t$，$dx = a \cos t dt$
2. $\sqrt{x^2 + a^2}$：令 $x = a \tan t$（$t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$），则 $\sqrt{x^2 + a^2} = a \sec t$，$dx = a \sec^2 t dt$
3. $\sqrt{x^2 - a^2}$：令 $x = a \sec t$（$t \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi)$），则 $\sqrt{x^2 - a^2} = a \tan t$，$dx = a \sec t \tan t dt$

例：计算 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx$
解：令 $x = 2 \tan t$（$t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$），则 $dx = 2 \sec^2 t dt$，$\sqrt{x^2 + 4} = 2 \sec t$，积分变为：
$\int \frac{2 \sec^2 t}{2 \sec t} \, dt = \int \sec t \, dt = \ln|\sec t + \tan t| + C$
回代 $\tan t = \frac{x}{2}$，$\sec t = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{2}$，得：
$\ln\left| \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{2} + \frac{x}{2} \right| + C = \ln|x + \sqrt{x^2 + 4}| + C'$（常数项合并）

3.2 分部积分法#

适用场景：被积函数为“乘积型”，如 $x \sin x$、$x e^x$、$\ln x$、$\arctan x$ 等，无法用换元法直接解决。
公式：设 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导，则：

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

核心：恰当选择 $u$ 和 $dv$，使右侧积分 $\int v \, du$ 比原积分简单。
选择原则（LIATE 法则）：优先将以下类型函数选为 $u$：
L（对数函数）> I（反三角函数）> A（代数函数，如多项式）> T（三角函数）> E（指数函数）

例 1：计算 $\int x e^x \, dx$
解：按 LIATE 法则，选 $u = x$（代数函数），$dv = e^x dx$（指数函数），则 $du = dx$，$v = e^x$，代入公式：
$\int x e^x dx = uv - \int v du = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C$

例 2：计算 $\int \ln x \, dx$
解：被积函数为对数函数，选 $u = \ln x$，$dv = dx$，则 $du = \frac{1}{x} dx$，$v = x$，得：
$\int \ln x dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - \int 1 dx = x \ln x - x + C$

例 3：计算 $\int e^x \sin x \, dx$（循环型）
解：设 $u = \sin x$，$dv = e^x dx$，则 $du = \cos x dx$，$v = e^x$，得：
$I = \int e^x \sin x dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx$
对右侧积分再用分部积分：设 $u = \cos x$，$dv = e^x dx$，则 $du = -\sin x dx$，$v = e^x$，得：
$\int e^x \cos x dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx = e^x \cos x + I$
代入原式：$I = e^x \sin x - (e^x \cos x + I)$，解得 $I = \frac{e^x (\sin x - \cos x)}{2} + C$

3.3 有理函数的积分：部分分式分解#

有理函数是指两个多项式的商 $\frac{P(x)}{Q(x)}$（$P, Q$ 为多项式，$Q \neq 0$）。积分步骤：

1. 化简：若分子次数 ≥ 分母次数，先做多项式除法，化为“多项式 + 真分式”（分子次数 < 分母次数）。
2. 分解：将真分式分解为“部分分式”之和（基于分母因式分解）。
3. 积分：对每个部分分式逐项积分。

分母因式分解的常见类型与分解形式#

例：计算 $\int \frac{x + 3}{x^2 - 5x + 6} \, dx$
步骤 1：分母因式分解：$x^2 -5x +6 = (x - 2)(x - 3)$（一次单因式）
步骤 2：设 $\frac{x + 3}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3}$，等式右侧通分后对比分子：
$x + 3 = A(x - 3) + B(x - 2)$
令 $x = 2$：$5 = -A \Rightarrow A = -5$
令 $x = 3$：$6 = B \Rightarrow B = 6$
步骤 3：积分：
$\int \left( \frac{-5}{x - 2} + \frac{6}{x - 3} \right) dx = -5 \ln|x - 2| + 6 \ln|x - 3| + C = \ln\left| \frac{(x - 3)^6}{(x - 2)^5} \right| + C$

3.4 三角函数积分的常用策略#

三角函数积分形式多样，需结合三角恒等式化简，常见类型：

1. $\int \sin^m x \cos^n x \, dx$（$m, n$ 为非负整数）#

• 若 $m$ 为奇数：保留一个 $\sin x$，用 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ 转化为 $\cos x$ 的多项式，再换元 $u = \cos x$。
  例：$\int \sin^3 x \cos^2 x dx = \int \sin^2 x \cos^2 x \cdot \sin x dx = \int (1 - \cos^2 x) \cos^2 x (-\sin x dx) = \int (u^2 - u^4) du$（$u = \cos x$）

• 若 $n$ 为奇数：类似，保留一个 $\cos x$，用 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ 转化为 $\sin x$ 的多项式，换元 $u = \sin x$。

• 若 $m, n$ 均为偶数：用倍角公式降次：$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$，$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$。

2. $\int \tan^m x \sec^n x \, dx$#

• 若 $n$ 为偶数：保留 $\sec^2 x$，用 $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ 转化为 $\tan x$ 的多项式，换元 $u = \tan x$。
  例：$\int \tan^2 x \sec^4 x dx = \int \tan^2 x (1 + \tan^2 x) \sec^2 x dx = \int u^2 (1 + u^2) du$（$u = \tan x$）

• 若 $m$ 为奇数：保留 $\sec x \tan x$，用 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ 转化为 $\sec x$ 的多项式，换元 $u = \sec x$。

3.5 无理函数的积分：根式代换与欧拉代换#

无理函数指含根号的函数，除 3.1 节的三角代换外，还常用以下方法：

根式代换（简单根式）#

若被积函数含 $\sqrt[n]{ax + b}$，令 $t = \sqrt[n]{ax + b}$，则 $x = \frac{t^n - b}{a}$，$dx = \frac{n t^{n-1}}{a} dt$，消去根号。

例：计算 $\int \frac{1}{x \sqrt{x + 1}} \, dx$
解：令 $t = \sqrt{x + 1}$（即 $t^2 = x + 1$），则 $x = t^2 - 1$，$dx = 2t dt$，积分变为：
$\int \frac{2t}{(t^2 - 1) t} dt = 2 \int \frac{1}{t^2 - 1} dt = 2 \cdot \frac{1}{2} \ln\left| \frac{t - 1}{t + 1} \right| + C = \ln\left| \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{\sqrt{x + 1} + 1} \right| + C$

欧拉代换（复杂二次根式）#

对 $\sqrt{ax^2 + bx + c}$（$a \neq 0$），可通过欧拉代换转化为有理函数积分，具体代换形式根据 $a$ 和 $c$ 的符号选择（此处略，可参考微积分教材）。

4. 定积分的性质与计算#

4.1 定积分的基本性质#

设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则：

1. 线性性：$\int_a^b [k_1 f(x) + k_2 g(x)] dx = k_1 \int_a^b f(x) dx + k_2 \int_a^b g(x) dx$（$k_1, k_2$ 为常数）

2. 区间可加性：对任意 $c$，$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$（$c$ 可在 $[a, b]$ 外）

3. 比较性质：若 $f(x) \geq g(x)$ 在 $[a, b]$ 上恒成立，则 $\int_a^b f(x) dx \geq \int_a^b g(x) dx$

4. 估值定理：设 $m = \min_{[a,b]} f(x)$，$M = \max_{[a,b]} f(x)$，则 $m(b - a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b - a)$

5. 中值定理：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a, b]$，使 $\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b - a)$（$f(\xi)$ 称为平均值）

4.2 对称区间上的定积分（奇函数与偶函数的简化）#

设 $f(x)$ 在对称区间 $[-a, a]$ 上可积：

• 若 $f(x)$ 为偶函数（$f(-x) = f(x)$）：$\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$
• 若 $f(x)$ 为奇函数（$f(-x) = -f(x)$）：$\int_{-a}^a f(x) dx = 0$

例：计算 $\int_{-1}^1 (x^3 + 2 \cos x) dx$
解：$x^3$ 是奇函数，$2 \cos x$ 是偶函数，故原式 = $0 + 2 \int_0^1 2 \cos x dx = 4 \sin x \bigg|_0^1 = 4 \sin 1$

4.3 定积分的几何应用：面积与体积计算#

平面图形的面积#

1. 曲线下面积：若 $f(x) \geq 0$，则 $S = \int_a^b f(x) dx$
2. 两曲线间面积：$S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$（$a \leq x \leq b$）

例：求曲线 $y = x^2$ 与 $y = 2 - x^2$ 所围图形的面积
解：先求交点：$x^2 = 2 - x^2 \Rightarrow x = \pm 1$，在 $[-1, 1]$ 上 $2 - x^2 \geq x^2$，故：
$S = \int_{-1}^1 [(2 - x^2) - x^2] dx = 2 \int_0^1 (2 - 2x^2) dx = 2 [2x - \frac{2x^3}{3}]_0^1 = 2 (2 - \frac{2}{3}) = \frac{8}{3}$

旋转体体积#

1. 圆盘法：曲线 $y = f(x)$ 与 $x = a, x = b, x$ 轴围成图形绕 $x$ 轴旋转，体积 $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$
2. 壳层法：绕 $y$ 轴旋转，体积 $V = 2\pi \int_a^b x f(x) dx$（$f(x) \geq 0$）

例：求 $y = \sqrt{x}$（$0 \leq x \leq 4$）绕 $x$ 轴旋转的体积
解：用圆盘法：$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_0^4 x dx = \pi \cdot \frac{x^2}{2} \bigg|_0^4 = 8\pi$

4.4 定积分的物理应用：功、功率与质心#

变力做功#

物体在变力 $F(x)$ 作用下沿 $x$ 轴从 $a$ 移动到 $b$，功 $W = \int_a^b F(x) dx$

例：弹簧弹性系数为 $k$，自然长度为 $l$，将其从长度 $l + a$ 拉长到 $l + b$，求功 $W$
解：由胡克定律 $F(x) = kx$（$x$ 为伸长量），积分区间为 $[a, b]$，故：
$W = \int_a^b kx dx = \frac{k}{2}(b^2 - a^2)$

5. 高阶积分公式与特殊函数#

5.1 反常积分（广义积分）#

定积分要求积分区间有限且被积函数有界，若放宽条件，则得到反常积分：

无穷区间上的反常积分#

1. $\int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x) dx$
2. $\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x) dx$
3. $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^{+\infty} f(x) dx$（需两部分均收敛）

例：判断 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ 是否收敛
解：$\lim_{t \to +\infty} \int_1^t x^{-2} dx = \lim_{t \to +\infty} [ -x^{-1} ]_1^t = \lim_{t \to +\infty} (-\frac{1}{t} + 1) = 1$，故收敛，值为 1。

无界函数的反常积分（瑕积分）#

若 $f(x)$ 在 $x = c$ 处无界（瑕点），则：

1. $\int_a^b f(x) dx = \lim_{t \to c^-} \int_a^t f(x) dx$（$c = b$ 为瑕点）
2. $\int_a^b f(x) dx = \lim_{t \to c^+} \int_t^b f(x) dx$（$c = a$ 为瑕点）

例：计算 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$（$x = 0$ 为瑕点）
解：$\lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2} dx = \lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1 = \lim_{t \to 0^+} (2 - 2\sqrt{t}) = 2$，收敛。

5.2 伽马函数（Γ函数）与贝塔函数（B函数）#

伽马函数（Γ函数）#

定义：$\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} t^{s-1} e^{-t} dt$（$s > 0$）
性质：

1. $\Gamma(s + 1) = s \Gamma(s)$（递推公式）
2. $\Gamma(n + 1) = n!$（$n$ 为非负整数，如 $\Gamma(1) = 0! = 1$，$\Gamma(5) = 4! = 24$）
3. $\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$（重要特例）

贝塔函数（B函数）#

定义：$B(p, q) = \int_0^1 t^{p-1} (1 - t)^{q-1} dt$（$p > 0, q > 0$）
与Γ函数的关系：$B(p, q) = \frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p + q)}$
应用：计算含 $t^{p-1}(1 - t)^{q-1}$ 的积分，如 $\int_0^1 \sqrt{x(1 - x)} dx = B(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}) = \frac{\Gamma(\frac{3}{2})^2}{\Gamma(3)} = \frac{(\frac{\sqrt{\pi}}{2})^2}{2!} = \frac{\pi}{16}$

5.3 椭圆积分简介#

椭圆积分是一类无法用初等函数表示的积分，形如 $\int R(x, \sqrt{P(x)}) dx$（$P(x)$ 为三次或四次多项式），在物理（如单摆周期）和工程中常见，需通过查表或数值方法计算。

6. 常见错误与学习建议#

6.1 积分计算中的典型错误#

1. 遗漏积分常数 $C$：不定积分结果必须加 $C$，而定积分无需加。
2. 换元后未调整积分限：定积分换元时，需同步替换上下限，避免回代错误。
3. 三角函数积分符号错误：如 $\int \sin x dx = -\cos x + C$，易漏写负号。
4. 分部积分法选择 $u, dv$ 不当：如 $\int x e^x dx$ 若选 $u = e^x$，$dv = x dx$，会使积分更复杂。
5. 忽视被积函数定义域：如 $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$，漏写绝对值会导致定义域错误。

6.2 高效学习积分公式的方法#

1. 理解推导逻辑：而非死记硬背，例如从 $(\sin x)' = \cos x$ 推出 $\int \cos x dx = \sin x + C$。
2. 分类总结：将公式按“幂函数”“三角函数”“指数函数”等类别整理，形成体系。
3. 大量练习：通过不同类型题目熟悉技巧，重点掌握换元法与分部积分法的适用场景。
4. 利用几何与物理意义辅助记忆：如定积分的面积意义可帮助理解对称区间简化规则。

6.3 积分公式的记忆技巧与工具推荐#

• 口诀法：如“幂函数积分加一除，指数积分自身出，正弦积分负余弦，余弦积分正正弦”。
• 工具推荐：
  • 教材：《普林斯顿微积分读本》《托马斯微积分》
  • 在线工具：Desmos（可视化积分曲线）、Wolfram Alpha（验证积分结果）
  • 习题集：《数学分析习题集》（吉米多维奇）

7. 总结与拓展#

积分公式是微积分的核心工具，从基础的幂函数积分到高阶的反常积分与特殊函数，其应用贯穿自然科学与工程技术。掌握积分公式不仅需要记忆基本形式，更需理解“转化”思想——通过换元、分部等技巧将复杂积分简化为可解形式。

拓展方向：

• 多重积分（二重积分、三重积分）：解决空间体积、质量等问题；
• 傅里叶积分：信号处理中的核心工具；
• 数值积分：计算机求解复杂积分的算法（如梯形法、辛普森法）。

希望本文能帮助读者构建系统的积分知识框架，在实践中不断深化理解，真正做到“知其然，更知其所以然”。

8. 参考文献#

1. 同济大学数学系. (2020). 高等数学（第七版）[M]. 高等教育出版社.
2. Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals[M]. Cengage Learning.
3. 张筑生. (2004). 数学分析新讲[M]. 北京大学出版社.
4. Khan Academy. "Integral Calculus" [Online]. Available: https://www.khanacademy.org/math/integral-calculus
5. Paul's Online Math Notes. "Integration Techniques" [Online]. Available: https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/IntegrationTechniques.aspx