常用导数公式详解：从定义到应用的全面指南

目录#

1. 引言：导数——描述变化的数学工具
2. 导数的定义：从极限到直观理解
   • 2.1 函数在某点的导数：极限定义
   • 2.2 导函数与导数的几何意义
3. 基本初等函数的导数公式
   • 3.1 常数函数：变化率为零
   • 3.2 幂函数：$(x^n)' = nx^{n-1}$
   • 3.3 指数函数：$(a^x)' = a^x \ln a$ 与 $(e^x)' = e^x$
   • 3.4 对数函数：$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$ 与 $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
   • 3.5 三角函数：正弦、余弦与正切的导数
   • 3.6 反三角函数：反正弦、反余弦与反正切的导数
4. 函数求导的基本法则
   • 4.1 和差法则：$(u \pm v)' = u' \pm v'$
   • 4.2 乘积法则：$(uv)' = u'v + uv'$
   • 4.3 商法则：$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
   • 4.4 链式法则：$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
5. 常见函数组合的导数计算
   • 5.1 多项式函数的导数：幂函数与和差法则的结合
   • 5.2 复合函数的导数：链式法则的灵活应用
   • 5.3 含指数、对数与三角函数的复合函数
6. 高阶导数：从变化率到变化率的变化率
   • 6.1 定义与表示法
   • 6.2 常见函数的高阶导数示例
7. 常见错误与注意事项
8. 导数公式的应用场景
   • 8.1 物理学：速度与加速度的计算
   • 8.2 优化问题：寻找函数的极值
   • 8.3 经济学：边际分析与决策
9. 总结与学习建议
10. 参考文献

1. 引言：导数——描述变化的数学工具#

在日常生活中，我们无时无刻不在与“变化”打交道：汽车行驶的速度（距离随时间的变化率）、气温的升降（温度随时间的变化率）、人口的增长（人口随时间的变化率）……这些“变化率”的精确描述，正是微积分的核心概念之一——导数（Derivative）所要解决的问题。

从数学本质上看，导数是函数在某一点处的“瞬时变化率”。它的提出，彻底改变了人类理解运动、变化和优化的方式，成为物理学、工程学、经济学等众多学科的基础工具。例如：

• 在物理学中，位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度；
• 在经济学中，成本函数对产量的导数是边际成本，用于指导生产决策；
• 在工程优化中，通过导数为零的点（极值点）可以找到最优设计参数。

然而，若每次计算导数都依赖“极限定义”（即通过差商的极限推导），会极大降低效率。因此，数学家们总结出了一系列常用导数公式，涵盖了基本初等函数（常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）的导数，以及函数四则运算、复合运算的求导法则。掌握这些公式，能让我们快速、准确地计算各类函数的导数，为解决复杂问题奠定基础。

本文将从导数的定义出发，系统梳理常用导数公式的推导过程、适用场景与典型例题，并结合实际应用帮助读者深入理解其本质。无论你是初学微积分的学生，还是需要复习导数知识的从业者，这篇指南都能为你提供清晰的脉络和实用的技巧。

2. 导数的定义：从极限到直观理解#

在学习导数公式前，我们必须先明确导数的“源头”——极限定义。只有理解了导数的本质，才能真正掌握公式的意义，而非死记硬背。

2.1 函数在某点的导数：极限定义#

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$（即 $x$ 从 $x_0$ 变为 $x_0 + \Delta x$）时，函数 $y$ 相应地取得增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$。若 $\Delta x \to 0$ 时，$\Delta y$ 与 $\Delta x$ 的比值（即“平均变化率”）的极限存在，则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，该极限称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，记作 $f'(x_0)$ 或 $\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0}$：

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

若令 $h = \Delta x$，则上式也可写为：

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

2.2 导函数与导数的几何意义#

若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 内每一点都可导，则对 $I$ 内的任意 $x$，都对应一个确定的导数值 $f'(x)$，此时 $f'(x)$ 称为 $f(x)$ 的导函数（简称导数）。

从几何角度看，函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$，就是曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线斜率。例如：

• 若 $f'(x_0) > 0$，曲线在该点处“上升”（函数递增）；
• 若 $f'(x_0) < 0$，曲线在该点处“下降”（函数递减）；
• 若 $f'(x_0) = 0$，曲线在该点处切线水平（可能是极值点）。

注意：导数的存在性与函数的连续性密切相关：可导必连续，但连续不一定可导（例如 $y = |x|$ 在 $x = 0$ 处连续但不可导，因为左导数 $-1$ 与右导数 $1$ 不相等）。

3. 基本初等函数的导数公式#

基本初等函数是指常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。它们的导数公式是整个导数计算体系的基础，必须牢记。

3.1 常数函数的导数：$(C)' = 0$#

公式：若 $f(x) = C$（$C$ 为常数），则 $f'(x) = 0$。

推导：根据导数定义，$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = C - C = 0$，因此：

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0}{\Delta x} = 0$$

几何意义：常数函数的图像是一条水平直线，其斜率为 0，因此导数为 0（即“变化率为零”）。

例：$(5)' = 0$，$(\pi)' = 0$，$(-3)' = 0$。

3.2 幂函数的导数：$(x^n)' = n x^{n-1}$#

公式：若 $f(x) = x^n$（$n$ 为常数，可为整数、分数或无理数），则 $f'(x) = n x^{n-1}$。

推导（以 $n$ 为正整数为例）：利用二项式定理展开 $(x + \Delta x)^n$：

$$(x + \Delta x)^n = x^n + n x^{n-1} \Delta x + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} (\Delta x)^2 + \cdots + (\Delta x)^n$$

则差商为：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(x + \Delta x)^n - x^n}{\Delta x} = n x^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} \Delta x + \cdots + (\Delta x)^{n-1}$$

当 $\Delta x \to 0$ 时，含 $\Delta x$ 的项均趋于 0，因此：

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = n x^{n-1}$$

推广：该公式对任意实数 $n$ 均成立（证明需用到对数求导法或复合函数求导，此处从略）。例如：

• $n = \frac{1}{2}$ 时，$(x^{1/2})' = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$（即 $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$）；
• $n = -1$ 时，$(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$（即 $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$）。

例：

• $(x^3)' = 3x^2$；
• $(x^{10})' = 10x^9$；
• $(\sqrt{x})' = \left(x^{1/2}\right)' = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$；
• $\left(\frac{1}{x^2}\right)' = (x^{-2})' = -2 x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$。

3.3 指数函数的导数：$(a^x)' = a^x \ln a$ 与 $(e^x)' = e^x$#

公式1：若 $f(x) = a^x$（$a > 0$，$a \neq 1$，$a$ 为常数），则 $f'(x) = a^x \ln a$。
公式2：若 $f(x) = e^x$（$e \approx 2.71828$ 为自然常数），则 $f'(x) = e^x$。

推导（以 $a^x$ 为例）：根据导数定义：

$$(a^x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{x + \Delta x} - a^x}{\Delta x} = a^x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$$

令 $t = a^{\Delta x} - 1$，则 $\Delta x = \log_a (1 + t) = \frac{\ln(1 + t)}{\ln a}$，且当 $\Delta x \to 0$ 时，$t \to 0$。因此：

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x} = \lim_{t \to 0} \frac{t \ln a}{\ln(1 + t)} = \ln a \cdot \lim_{t \to 0} \frac{1}{\ln(1 + t)^{1/t}} = \ln a \cdot \frac{1}{\ln e} = \ln a$$

（注：$\lim_{t \to 0} (1 + t)^{1/t} = e$）
故 $(a^x)' = a^x \ln a$。当 $a = e$ 时，$\ln e = 1$，因此 $(e^x)' = e^x$。

几何意义：$e^x$ 是唯一的“导数等于自身”的函数，其图像在任意点处的切线斜率等于该点的函数值（例如，在 $x = 0$ 处，$e^0 = 1$，切线斜率为 1）。

例：

• $(2^x)' = 2^x \ln 2$；
• $(10^x)' = 10^x \ln 10$；
• $(e^{2x})'$：此处需结合后续“链式法则”，结果为 $2e^{2x}$（先记结论，后文详解）。

3.4 对数函数的导数：$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$ 与 $(\ln x)' = \frac{1}{x}$#

公式1：若 $f(x) = \log_a x$（$a > 0$，$a \neq 1$，$x > 0$），则 $f'(x) = \frac{1}{x \ln a}$。
公式2：若 $f(x) = \ln x$（自然对数，以 $e$ 为底），则 $f'(x) = \frac{1}{x}$。

推导（以 $\log_a x$ 为例）：利用导数定义：

$$(\log_a x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a (x + \Delta x) - \log_a x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \log_a \left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right)$$

令 $t = \frac{\Delta x}{x}$，则 $\Delta x = x t$，当 $\Delta x \to 0$ 时，$t \to 0$。因此：

$$(\log_a x)' = \lim_{t \to 0} \frac{1}{x t} \log_a (1 + t) = \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t \ln a} = \frac{1}{x \ln a} \lim_{t \to 0} \ln(1 + t)^{1/t} = \frac{1}{x \ln a}$$

（注：$\lim_{t \to 0} (1 + t)^{1/t} = e$，故 $\ln(1 + t)^{1/t} \to \ln e = 1$）
当 $a = e$ 时，$\ln a = 1$，因此 $(\ln x)' = \frac{1}{x}$。

例：

• $(\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$；
• $(\ln(3x))'$：结合链式法则，结果为 $\frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$（与 $\ln x$ 导数相同，因 $\ln(3x) = \ln 3 + \ln x$，常数项导数为 0）。

3.5 三角函数的导数#

三角函数的导数是微积分中的重点，需注意符号和公式的对应关系。

3.5.1 正弦函数：$(\sin x)' = \cos x$#

推导：利用导数定义和三角函数的和差公式：

$$(\sin x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x \cos \Delta x + \cos x \sin \Delta x - \sin x}{\Delta x}$$

拆分后得：

$$= \sin x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos \Delta x - 1}{\Delta x} + \cos x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x}{\Delta x}$$

由重要极限：$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} = 1$，$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos \Delta x - 1}{\Delta x} = 0$（分子等价于 $-\frac{(\Delta x)^2}{2}$），因此：

$$(\sin x)' = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$$

3.5.2 余弦函数：$(\cos x)' = -\sin x$#

推导：类似正弦函数，利用和差公式 $\cos(x + \Delta x) = \cos x \cos \Delta x - \sin x \sin \Delta x$：

$$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos x (\cos \Delta x - 1) - \sin x \sin \Delta x}{\Delta x}$$

代入重要极限：

$$= \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x$$

3.5.3 正切函数：$(\tan x)' = \sec^2 x$#

推导：$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，利用后文“商法则”：

$$(\tan x)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{(\sin x)' \cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^2 x} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

（注：$\sec x = \frac{1}{\cos x}$，即正割函数）

3.5.4 余切函数：$(\cot x)' = -\csc^2 x$#

推导：$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$，由商法则：

$$(\cot x)' = \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)' = \frac{(\cos x)' \sin x - \cos x (\sin x)'}{\sin^2 x} = \frac{(-\sin x) \sin x - \cos x \cos x}{\sin^2 x} = -\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$$

（注：$\csc x = \frac{1}{\sin x}$，即余割函数）

三角函数导数总结：

例：求 $(\sec x)'$。
解：$\sec x = \frac{1}{\cos x} = (\cos x)^{-1}$，利用幂函数导数公式和链式法则：

$$(\sec x)' = -1 \cdot (\cos x)^{-2} \cdot (-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x \tan x$$

3.6 反三角函数的导数#

反三角函数是三角函数的反函数，其导数可通过“隐函数求导法”推导。

3.6.1 反正弦函数：$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$（$|x| < 1$）#

推导：令 $y = \arcsin x$，则 $x = \sin y$，且 $y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$（反正弦函数的值域）。两边对 $x$ 求导：

$$\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\sin y) \implies 1 = \cos y \cdot \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$$

因 $y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$，$\cos y \geq 0$，故 $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$，因此：

$$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$

3.6.2 反余弦函数：$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$（$|x| < 1$）#

推导：类似反正弦函数，令 $y = \arccos x$，则 $x = \cos y$，$y \in [0, \pi]$。两边求导：

$$1 = -\sin y \cdot \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$$

因 $y \in [0, \pi]$，$\sin y \geq 0$，$\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$，故：

$$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$

3.6.3 反正切函数：$(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$#

推导：令 $y = \arctan x$，则 $x = \tan y$，$y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$。两边求导：

$$1 = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$$

（注：$\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$）

反三角函数导数总结：

例：$(\arcsin 2x)'$（需结合链式法则）：

$$(\arcsin 2x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} \cdot (2x)' = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$$

4. 函数求导的基本法则#

实际问题中的函数往往不是单一的基本初等函数，而是通过四则运算（加、减、乘、除）或复合运算（如 $e^{\sin x}$、$\ln(x^2 + 1)$）得到的“复合函数”。因此，除了基本初等函数的导数公式，还需掌握函数运算的求导法则。

4.1 和差法则：$(u \pm v)' = u' \pm v'$#

法则：两个函数的和（或差）的导数，等于它们的导数的和（或差）。
推广：对有限个函数的和差，法则仍成立：$(u_1 \pm u_2 \pm \cdots \pm u_n)' = u_1' \pm u_2' \pm \cdots \pm u_n'$。

推导：利用导数定义：

$$(u + v)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[u(x + \Delta x) + v(x + \Delta x)] - [u(x) + v(x)]}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}\right) = u' + v'$$

差法则可类似推导。

例：求 $f(x) = x^3 + \sin x - 2^x$ 的导数。
解：$f'(x) = (x^3)' + (\sin x)' - (2^x)' = 3x^2 + \cos x - 2^x \ln 2$。

4.2 乘积法则：$(uv)' = u'v + uv'$#

法则：两个函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。
记忆口诀：前导后不导，后导前不导，两者相加。

推导：利用导数定义和“加一项减一项”的技巧：

$$(uv)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x + \Delta x) + u(x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}$$

拆分后得：

$$= \lim_{\Delta x \to 0} \left[v(x + \Delta x) \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + u(x) \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}\right] = u'v + uv'$$

（注：因 $v(x)$ 可导必连续，故 $\lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) = v(x)$）

例：求 $f(x) = x^2 \cos x$ 的导数。
解：令 $u = x^2$，$v = \cos x$，则 $u' = 2x$，$v' = -\sin x$，由乘积法则：

$$f'(x) = u'v + uv' = 2x \cdot \cos x + x^2 \cdot (-\sin x) = 2x \cos x - x^2 \sin x$$

4.3 商法则：$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$（$v \neq 0$）#

法则：两个函数商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方。
记忆口诀：（上导下不导 - 下导上不导）除以（下平方）。

推导：利用乘积法则和幂函数导数公式。令 $f(x) = \frac{u}{v} = u v^{-1}$，则：

$$f'(x) = u' v^{-1} + u \cdot (-1) v^{-2} v' = \frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^2} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

例：求 $f(x) = \frac{x}{\sin x}$ 的导数（$\sin x \neq 0$）。
解：令 $u = x$，$v = \sin x$，则 $u' = 1$，$v' = \cos x$，由商法则：

$$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{1 \cdot \sin x - x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^2 x}$$

4.4 链式法则：$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$#

法则：复合函数 $y = f(g(x))$ 的导数，等于外层函数 $f$ 对中间变量 $u = g(x)$ 的导数，乘以内层函数 $g$ 对自变量 $x$ 的导数。
意义：链式法则是处理“多层函数嵌套”的核心工具。例如 $y = e^{\sin(x^2)}$ 可视为 $y = e^u$，$u = \sin v$，$v = x^2$ 的复合，其导数需逐层求导并相乘。

推导：设 $y = f(u)$，$u = g(x)$，则当 $x$ 有增量 $\Delta x$ 时，$u$ 有增量 $\Delta u = g(x + \Delta x) - g(x)$，$y$ 有增量 $\Delta y = f(u + \Delta u) - f(u)$。若 $\Delta u \neq 0$，则：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$$

当 $\Delta x \to 0$ 时，$\Delta u \to 0$（因 $g(x)$ 连续），取极限得：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \implies (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

（注：若 $\Delta u = 0$，需单独讨论，但结论仍成立）

例1：求 $f(x) = \sin(x^2)$ 的导数。
解：令 $u = x^2$，则 $f(x) = \sin u$，由链式法则：

$$f'(x) = (\sin u)' \cdot u' = \cos u \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$$

例2：求 $f(x) = e^{\tan x}$ 的导数。
解：令 $u = \tan x$，则 $f(x) = e^u$，由链式法则：

$$f'(x) = (e^u)' \cdot u' = e^u \cdot \sec^2 x = e^{\tan x} \sec^2 x$$

例3：求 $f(x) = \ln(\sin(2x))$ 的导数（多层复合）。
解：令 $v = 2x$，$u = \sin v$，$f(x) = \ln u$，则：

$$f'(x) = (\ln u)' \cdot u' \cdot v' = \frac{1}{u} \cdot \cos v \cdot 2 = \frac{2 \cos(2x)}{\sin(2x)} = 2 \cot(2x)$$

5. 常见函数组合的导数计算#

掌握了基本公式和运算法则后，我们可以处理更复杂的函数组合，如多项式、含指数/对数/三角函数的复合函数等。

5.1 多项式函数的导数#

多项式函数的一般形式为 $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$，其导数可通过“和差法则”与“幂函数导数公式”直接计算：

$$P'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \cdots + a_1$$

例：求 $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 7x + 1$ 的导数。
解：

$$P'(x) = 3 \cdot 4x^3 - 2 \cdot 3x^2 + 5 \cdot 2x - 7 \cdot 1 + 0 = 12x^3 - 6x^2 + 10x - 7$$

5.2 含指数、对数与三角函数的复合函数#

这类函数是微积分中的常见形式，需灵活运用链式法则。

例1：$f(x) = e^{-x^2}$（指数函数与幂函数复合）
解：$f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}$

例2：$f(x) = \log_2(x^2 + 1)$（对数函数与多项式复合）
解：$f'(x) = \frac{1}{(x^2 + 1) \ln 2} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2 + 1) \ln 2}$

例3：$f(x) = \sin^2 x$（三角函数的幂函数复合，即 $(\sin x)^2$）
解：$f'(x) = 2 \sin x \cdot (\sin x)' = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$

5.3 分式函数的导数#

分式函数可通过“商法则”或“负指数幂 + 链式法则”求解。

例：求 $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$ 的导数（$x \neq 2$）。
解（商法则）：令 $u = x^2 + 1$，$v = x - 2$，则 $u' = 2x$，$v' = 1$，

$$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2x(x - 2) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 1}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2}$$

6. 高阶导数：从变化率到变化率的变化率#

我们之前讨论的导数（$f'(x)$）称为“一阶导数”，表示函数的变化率。若对一阶导数再求导，可得到“二阶导数”（$f''(x)$），表示“变化率的变化率”。以此类推，可定义高阶导数。

6.1 定义与表示法#

• 二阶导数：$f''(x) = (f'(x))'$，记作 $f''(x)$、$\frac{d^2 y}{dx^2}$ 或 $y''$；
• n 阶导数：$f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))'$，记作 $f^{(n)}(x)$、$\frac{d^n y}{dx^n}$ 或 $y^{(n)}$。

物理意义：若 $s(t)$ 表示位移函数，则：

• $s'(t) = v(t)$（速度，一阶导数）；
• $s''(t) = v'(t) = a(t)$（加速度，二阶导数）；
• $s'''(t) = a'(t)$（加加速度，三阶导数）。

6.2 常见函数的高阶导数示例#

例1：多项式函数的高阶导数。
设 $f(x) = x^3$，则：

• $f'(x) = 3x^2$；
• $f''(x) = 6x$；
• $f'''(x) = 6$；
• $f^{(4)}(x) = 0$（四阶及以上导数均为 0）。

例2：正弦函数的高阶导数（周期性）。
$f(x) = \sin x$，则：

• $f'(x) = \cos x$；
• $f''(x) = -\sin x$；
• $f'''(x) = -\cos x$；
• $f^{(4)}(x) = \sin x = f(x)$，周期为 4。

7. 常见错误与注意事项#

在导数计算中，以下错误需特别注意：

1. 忘记链式法则：对复合函数求导时，务必乘以中间变量的导数。
   错误示例：$(\sin 2x)' = \cos 2x$（正确：$2 \cos 2x$）。

2. 乘积法则与商法则混淆：商法则分子是“$u'v - uv'$”，而非“$uv' - u'v$”。
   错误示例：$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{uv' - u'v}{v^2}$（正确：分子应为 $u'v - uv'$）。

3. 三角函数导数符号错误：$(\cos x)' = -\sin x$（带负号），$(\cot x)' = -\csc^2 x$（带负号）。
   错误示例：$(\cos x)' = \sin x$（正确：$-\sin x$）。

4. 幂函数与指数函数混淆：$(x^n)' = n x^{n-1}$（幂函数，底数为变量），$(a^x)' = a^x \ln a$（指数函数，指数为变量）。
   错误示例：$(2^x)' = x 2^{x-1}$（正确：$2^x \ln 2$）。

5. 对数函数导数遗漏分母：$(\ln x)' = \frac{1}{x}$（非 $1$ 或 $x$）。
   错误示例：$(\ln x)' = 1$（正确：$\frac{1}{x}$）。

8. 导数公式的应用场景#

导数公式的应用贯穿于科学与工程的各个领域，以下是几个典型场景：

8.1 物理学：速度与加速度的计算#

例：一物体做直线运动，位移函数为 $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$（单位：米，$t$ 单位：秒），求 $t = 2$ 秒时的速度和加速度。

解：

• 速度 $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$；
• 加速度 $a(t) = v'(t) = 6t - 12$；
• 当 $t = 2$ 时，$v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3$ m/s（负号表示方向与规定正方向相反），$a(2) = 6(2) - 12 = 0$ m/s²。

8.2 优化问题：寻找函数的极值#

通过导数为零的点（驻点）和导数不存在的点，可寻找函数的极值。

例：求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ 的极值。

解：

1. 求导：$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$；
2. 令 $f'(x) = 0$，得驻点 $x = 0$ 或 $x = 2$；
3. 判断极值：
   • 当 $x < 0$ 时，$f'(x) > 0$；$0 < x < 2$ 时，$f'(x) < 0$，故 $x = 0$ 为极大值点，$f(0) = 1$；
   • 当 $x > 2$ 时，$f'(x) > 0$，故 $x = 2$ 为极小值点，$f(2) = -3$。

8.3 经济学：边际分析与决策#

在经济学中，“边际”概念本质上是导数。例如，边际成本 $MC(x) = C'(x)$，表示多生产一单位产品的额外成本。

例：某产品的成本函数为 $C(x) = 2x^2 + 5x + 100$（$x$ 为产量，单位：千件；$C(x)$ 单位：万元），求产量为 10 千件时的边际成本。

解：边际成本 $MC(x) = C'(x) = 4x + 5$，当 $x = 10$ 时，$MC(10) = 4 \times 10 + 5 = 45$ 万元/千件，即多生产 1 千件产品需额外投入 45 万元。

9. 总结与学习建议#

常用导数公式是微积分的“基石”，其核心包括：

1. 基本初等函数导数公式：需牢记常数、幂函数、指数、对数、三角函数、反三角函数的导数；
2. 求导法则：和差、乘积、商、链式法则，尤其是链式法则对复合函数的处理；
3. 应用技巧：结合具体函数类型选择合适公式，通过多练习熟悉“公式组合”（如多项式用和差+幂函数，复合函数用链式法则）。

学习建议：

• 理解推导：不要死记硬背公式，通过极限定义或隐函数求导理解公式来源（如 $(\sin x)' = \cos x$ 的推导）；
• 多做练习：从简单函数（多项式、单一三角函数）到复杂复合函数（如 $e^{\sin(x^2)}$）逐步过渡；
• 错题整理：记录易混淆的公式（如 $\cos x$ 与 $\sin x$ 的导数符号）和漏用链式法则的情况；
• 结合几何与物理意义：通过图像切线斜率、速度加速度等直观理解导数的本质。

10. 参考文献#

[1] 同济大学数学系. 高等数学（第七版）[M]. 北京：高等教育出版社，2014.
[2] 华东师范大学数学系. 数学分析（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2010.
[3] Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals (8th Edition)[M]. Cengage Learning, 2015.
[4] 张筑生. 数学分析新讲（第一册）[M]. 北京：北京大学出版社，1990.